Math Tricks: ১০ অঙ্কের সংখ্যার ১টি অঙ্ক দেখেই বুঝে যাবেন কটা শূন্য আছে! আত্মজীবনীমূলক সংখ্যার

গণিতের ধাঁধা তো অনেকেই পছন্দ করেন। দেখুন তো এই ধাঁধাটা কেউ আগে দেখেছেন কিনা? ১০ অঙ্কের এমন একটি সংখ্যা বলতে হবে, যার বাঁ-দিক থেকে প্রথম অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কয়টি শূন্য আছে। পুরোটা বোঝালেন দুই অধ্যাপক।

প্রিয়দর্শী মজুমদার ও সন্দীপ দে

গণিতের ধাঁধা তো অনেকেই পছন্দ করেন। দেখুন তো এই ধাঁধাটা কেউ আগে দেখেছেন কিনা? ১০ অঙ্কের এমন একটি সংখ্যা বলতে হবে, যার বাঁ-দিক থেকে প্রথম অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কয়টি শূন্য আছে। দ্বিতীয় অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কয়টি এক আছে। তৃতীয় অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কয়টি দুই আছে। চতুর্থ অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কতগুলি তিন আছে। পঞ্চম অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কতগুলি চার আছে। ষষ্ঠ অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কতগুলি পাঁচ আছে। সপ্তম অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কতগুলি ছয় আছে। অষ্টম অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কতগুলি সাত আছে। নবম অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কতগুলি আট আছে। দশম অঙ্ক বলে দেয়, সংখ্যাটিতে কতগুলি নয় আছে।

দশ অঙ্কের সংখ্যাটি তাহলে কত?

এই সমস্যাটা সমাধানে কীভাবে এগিয়ে যাব? আসুন দেখা যাক। একটা জিনিস বেশ বোঝা যাচ্ছে যে সমাধানটায় শূন্যর সংখ্যা যথেষ্টই বেশি থাকবে, কারণ সম্ভাব্য দশ অঙ্কের সংখ্যাটির কোনও অঙ্কে বড় সংখ্যা আসা মানেই বিপদ। উদাহরণস্বরূপ ধরা যাক, তৃতীয় অঙ্কে এল ৪, তার মানে সংখ্যাটায় ৪-তে ২ থাকতে হবে।

কাজেই এই সমস্যা এড়ানোর জন্য সহজতম একটা সমাধান (যা সর্বোচ্চ শর্ত মেনে চলছে) ধরে নিয়ে আমাদের এগোতে হবে। তারপর সেটার ভুলত্রুটি গুলো ধাপে ধাপে সমাধান করতে হবে।

আমরা শুরু করলাম ৯০০০০০০০০০ সংখ্যাটা নিয়ে। এবার দেখে নিই যে এই সংখ্যাটা কি সমাধান হতে পারে? এই সংখ্যায় ন'টি শূন্য আছে, একটিও ১ নেই, এই ভাবে যদি শর্ত অনুযায়ী এগোতে থাকি, তবে সবকিছু মিলে গেলেও একদম শেষধাপে গিয়ে ধাক্কা খাচ্ছি। কারণ যেহেতু এই সংখ্যায় একটি ৯ আছে, তাই ডানদিকের একদম শেষ সংখ্যাটি অর্থাৎ এককের অঙ্ক শূন্য হতে পারে না।

তাহলে এটি সম্ভাব্য সমাধান নয়। তাহলে আসুন এই সংখ্যায় প্রয়োজনীয় সংশোধন করে সম্ভাব্য সমাধানের দিকে এগোই। তাহলে বুঝতে পারছি ৯ টি শূন্য কখনওই বসাতে পারব না। যতগুলো শূন্য আমরা নেব, সেই সংখ্যাটা তো একবার আসছেই।

এবার তাহলে বেছে নিলাম ৮০০০০০০০১০ এই সংখ্যাটি (যেহেতু শূন্য একটি কমাতে হয়েছে, তাই ৮ দিয়ে সংখ্যা শুরু হয়েছে, আর বাঁ-দিক থেকে নবম ঘরে অর্থাৎ দশকের অঙ্কে ১ বসিয়েছি কারণ একটি আট আছে)| এটি কি তবে আমাদের সমাধান? না এখনো আমরা সঠিক জায়গায় পৌঁছাইনি, কারণ যেহেতু এই সংখ্যায় একটি ১ আছে, তাই বাঁ-দিক থেকে দ্বিতীয় ঘরে একটি ১ বসার কথা|

কিন্তু মজার ব্যাপার হচ্ছে আমরা যদি সংশোধন করতে গিয়ে বাঁ-দিকের দ্বিতীয় ঘরে ১ বসাই তাহলে সংখ্যাটি দাঁড়ায় ৭১০০০০০১০০ (যেহেতু এখন শূন্যর সংখ্যা সাতে নেমে এসেছে, তাই সংখ্যাটি ৭ দিয়ে শুরু হবার কথা)| এটাও কিন্তু শর্ত মানছে না, কারণ এই সংখ্যায় ১ আছে দু'বার, তাই বাঁ-দিক থেকে দ্বিতীয় অঙ্কটি কখনোই ১ হতে পারে না, ওটি হওয়ার কথা ২।

দেখা যাক, তাহলে আমরা এবার কোন সংখ্যাটি পেলাম: ৬২১০০০১০০০ (যেহেতু এখন একটা ২ আছে তাই বাম দিক থেকে তৃতীয় ঘরে ১ বসেছে, আর শূন্য আর একটা কমে গিয়েছে বলে সংখ্যাটি শুরু হচ্ছে ৬ দিয়ে এবং তার ফলে বাম দিক থেকে সপ্তম ঘরে আমাকে ১ বসাতে হয়েছে। এই সংখ্যাটি কি সব শর্ত মানছে? হ্যাঁ মানছে। সংখ্যাটিতে শূন্য আছে ছয়টি, এক আছে দুটি, দুই আছে একটি, তিন চার পাঁচ নেই, ছয় আছে একটি, সাত আট নয় নেই। তাহলে আনুমানিক সমাধান থেকে প্রকৃত সমাধানে পৌঁছানোর ধাপ গুলো নিচে পরপর লিখেনি।

৯০০০০০০০০০

৮০০০০০০০১০

৭১০০০০০১০০

৬২১০০০১০০০

এই ধরনের সংখ্যার একটি বিশেষ নাম আছে। এদের বলে স্ব-বর্ণনাকারী বা আত্মজীবনী মূলক সংখ্যা| অর্থাৎ স্ব-বর্ণনাকারী (বা আত্মজীবনীমূলক) সংখ্যা হল, এমন একটি সংখ্যা যার একদম বাঁ-দিক থেকে শুরু করে প্রতিটি অঙ্কের মান ঐ সংখ্যায় শূন্য থেকে শুরু করে পরপর প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার পুনরাবৃত্তির সূচক।

আমরা আমাদের উদাহরণে ১০ অঙ্কের স্ব-বর্ণনাকারী সংখ্যাটি তো দেখলাম। অন্যান্য অংকের এরকম আর কী কী স্ব-বর্ণনাকারী সংখ্যা তাহলে হতে পারে? আসুন দেখে নিই। ৩২১১০০০, কারণ এই সংখ্যায় ৩ টি শূন্য, ২ টি এক, ১ টি দুই এবং ১ টি তিন আছে।

প্রসঙ্গত এটি সাত অঙ্কের আত্মজীবনীমূলক সংখ্যার উদাহরণ। ঠিক একইভাবে অন্যান্য অঙ্কের আত্মজীবনীমূলক সংখ্যা হতেই পারে, যেমন ১২১০, ২০২০ (এই দুটি চার অঙ্কের), ২১২০০ (পাঁচ অঙ্কের), ৩২১১০০০ (সাত অঙ্কের), ৪২১০১০০০ (আট অঙ্কের), ৫২১০০১০০০ (নয় অঙ্কের) ইত্যাদি। দেখুন তো আপনারা নিজেরাই গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এই সংখ্যাগুলোয় পৌঁছাতে পারেন কিনা।

(লেখকদ্বয় উভয়ই ব্যারাকপুর রাষ্ট্রগুরু সুরেন্দ্রনাথ কলেজের ইলেকট্রনিক বিজ্ঞান বিভাগের অধ্যাপক)।